8 класс.

1. Решите уравнение: |3х +1|×|-2,4| = 10.
2. Разложить на множители: 9(а² + b² - 1) – 42аb + 40b² - 40.
3. Доказать, что в прямоугольном треугольнике , один из углов которого равен 30⁰, отрезок перпендикуляра, проведенного к середине гипотенузы до пересечения с катетом и лежащего внутри треугольника, в 3 раза меньше большего катета.  
4.  Можно ли разбить все натуральные числа от 1 до 21 на несколько групп, в каждой из которых наибольшее число равно сумме всех остальных?
5. Имеются 5 луночек, занумерованные числами 1, 2, 3, 4, 5 . В эти луночки раскладываются шарики синего и красного цвета, по одному в каждую луночку. Два расклада считаются одинаковыми, если у этих раскладов в луночках с одинаковыми номерами лежат шарики одинаковых цветов. Сколько существует различных раскладов?

6.      Расшифровать пример на вычитание КРЫСЫ–СЫРЫ=СЫТЫ. Одним и тем же буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные.

7. Если к некоторому трехзначному числу приписать слева 5, то получится точный квадрат. Если к этому же числу приписать справа 1, то также получится полный квадрат. Найти это число.
8. В хороводе по кругу стоят 30 детей. Правый сосед каждой девочки – мальчик. У половины мальчиков правый сосед тоже мальчик, а у всех остальных мальчиков справа стоит девочка. Сколько мальчиков и девочек в хороводе?
9. "Бабушка, сколько лет твоему внуку?"

"Моему внуку столько месяцев, сколько мне лет, а вместе нам 65 лет". Сколько лет внуку?

10. Разрежьте квадрат на рисунке на 4 части одинаковой формы и размера так, чтобы в каждую часть попало ровно по одному заштрихованному квадратику.

11. Лист бумаги согнули вдвое по прямой и прокололи иголкой в двух местах, а потом развернули и получили 4 отверстия. Положение 3-х из них отмечены на рисунке. Где может находится 4 точка?

12. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил двух туземцев – А и В. Туземец произнес фразу :"По крайней мере, один из нас       (А и В) – лжец". Можно ли сказать, кем является А и кем является В (рыцарем или лжецом)?
13. По дороге едут автомобили : на запад "Москвич" и "Жигули" с равными между собой скоростями, а на восток "Мерседес и "БМВ" с равными между собой скоростями. "Москвич" встретился с "БМВ" в 12.00, "Жигули" с "БМВ" – в 15.00, "Москвич" и "Мерседес" – в 14.00. Когда встретились "Жигули" и "Мерседес"?
14. Докажи те, что .          (2 балла)
15. Из 36 спичек сложили треугольники, квадраты и "домики". Сколько было сложено треугольников, квадратов и "домиков" ?         (4 балла)                                         
16. Нам обоим 63 года. Сейчас мне вдвое больше лет, чем было Вам тогда, когда мне было столько лет, сколько Вам сейчас. Сколько лет мне и сколько лет Вам?        (4 балла)
17. Что больше сумма четных или сумма нечетных чисел из первой тысячи натуральных чисел и на сколько?           (2 балла)
18. Определить последнюю цифру, которой оканчивается сумма 1!+2!+3!+...+2000!+2001!.   (n!=1*2*3*4. . . *n)           (3 балла)
19. Биссектриса одного из углов прямоугольного треугольника равна его стороне. Определите величины острых углов треугольника.        (4 балла)
20. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании равна основанию этого треугольника. Вычислите углы треугольника.   (5 баллов)
21. Медиана прямоугольного треугольника равна одной из его сторон. Определите углы такого треугольника.    (6 баллов)
22. Середины сторон равнобедренного треугольника соединены отрезками. При этом получился треугольник с периметром р.  Разность длин наибольшей и наименьшей сторон этого треугольника равна а. Найти длины всех сторон треугольника.    (4 балла)
23. Многочлен Р(х)=а₀+а₁х+. . . +а₄₀х⁴⁰ задан выражением Р(х)=(1–х–х²)²⁰. Найти сумму S=а₀+а₂+а₄+...+а₄₀.        (4 балла)
24. В комнате стоят стулья и табуретки. У каждой табуретки 3 ножки,  а каждого стула – четыре. На каждом стуле и на каждой табуретке сидит ребенок. сколько детей в комнате, если в этой комнате 167 ножек, а количество стульев и табуреток вместе взятых максимально возможное ?      (4 балла)
25. Что больше : 32²² или 23³³ ?             (3 балла)
26. В четырехугольнике ABCD с равными сторонами AB=AD на стороне ВС отмечена такая точка М, для которой DM=BM. Найти все углы этого четырехугольника, если известно, что .             (4 балла)
27. Делится ли на 27 число ?       (4 балла)
28. Известно, что каждая бактерия за одну секунду производит себе подобную. Если одну бактерию поместить в банку, то банка заполнится бактериями за 1 час. За какое время заполнится такая же банка бактериями, если в нее поместить 8 бактерий? Что можно сказать о времени заполнения банки бактериями, если первоначально в нее помести 100 бактерий?         (5 баллов)
29. Какое самое большое и самое маленькое значение принимает отношение трехзначного числа к сумме чисел, одно из которых записывается первыми двумя цифрами, а второе – последней цифрой этого числа? 
30. Натуральные числа А и В таковы, что их наименьшее общее кратное в 8 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что А=8В или В=8А.
31. Компания ОГОГО обещает на каждый вложенный рубль через 10 лет выплатить 200520052005•20062006 рублей, а компания ОХОХО – 200620062006•20052005 рублей. В какую компанию выгоднее вложить деньги?
32. Имеются 10 арбузов и весы, с помощью которых за одно взвешивание можно определить общую массу любых трех арбузов. Как за шесть таких взвешиваний определить общую массу всех арбузов?
33. Пять прямых на рисунке пересекаются в одной точке. Известно, что Ð1=50°, Ð2=Ð3=20°, Ð4 вдвое больше Ð5. Найдите величину угла 5.

 2

4

                                                                        5

                                                                                 1

                                                                               3

34. В ящике у Карлсона лежат шоколадные конфеты трех сортов: с ромом, с орехами и с мармеладом. Карлсон утверждает, что, какие бы сто конфет ни вынуть из ящика, среди них обязательно окажется и конфета с ромом, и конфета с орехами. Какое наибольшее число конфет может быть у Карлсона в ящике?